Question

已知函数f（x）=x+x³，x∈R．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若a，b∈R，且a+b＞0，试比较f（a）+f（b）与0的大小．

Answer

（1）求出导数f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可作出判断；
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）f（x）的单调性可得f（a）＞f（-b），判断f（x）的奇偶性，根据奇偶性的性质可得f（-b）与f（b）的关系，由此即可作出判断；
【解析】
（1）函数f（x）=x+x3，x∈R是增函数，证明如下：
因为f′（x）=1+3x2＞0恒成立，
所以函数f（x）=x+x3，x∈R是增函数．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）知f（a）＞f（-b），
因为f（x）的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，
又f（-x）=（-x）+（-x）3=-x-x3=-（x+x3）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
于是有f（-b）=-f（b），
所以f（a）＞-f（b），从而f（a）+f（b）＞0．