Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，，PA=2，
求：（Ⅰ）三角形PCD的面积；
    （II）三棱锥P-ABE的体积．

Answer

（Ⅰ）只要证明CD⊥平面PAD即可．
（Ⅱ）取PB的中点，得EH为△PBC的中位线，可得EH与BC的关系，而可证明BC⊥平面PAB，因此EH为平面PAB上的高，进而可计算出体积．
【解析】
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
由矩形ABCD可得CD⊥AD，
又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
∴△PCD是一个直角三角形，PD==．
∴S△PCD==2．
（ II）如图，设PB的中点为H，又E为PC的中点，由三角形的中位线定理，得EH∥BC，EH==．
由PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC．
由矩形ABCD得BC⊥AB．
又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
所以HE为三棱锥P-ABE的高，因此可得VP-ABE=VE-PAB==．