Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（I）⊙Q过M、F、O三点，结合圆的性质得Q点一定在线段FO的中垂线y=上，再根据Q到抛物线C的准线的距离为3，由此列方程并解之可得p=2，从而得到抛物线C的方程；
（II）将抛物线化成二次函数：y=x2，利用导数的几何意义，得到切线MQ：，结合yQ=，得到，最后根据两点间的距离公式结合|MQ|=|OQ|列出关于x的方程并解之，可得存在M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M．
【解析】
（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x2=2py的焦点F（0，），O（0，0）
∴FO的中垂线为：y=，设Q（xQ，yQ），得，
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为，解之得p=2
由此可得，抛物线C的方程为x2=4y
（Ⅱ）设存在点M（），抛物线化成二次函数：y=x2，
对函数求导数，得，得切线MQ：，
由（1）知，yQ=，所以对MQ方程令，得
∴Q（），
结合|MQ|=|OQ|得：，
解之得，得M
所以存在M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M．