Question

已知数列a_n满足．
（1）求a₂，a₃，a₄；并求证：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），（m∈N^*）；
（2）设，求证：．

Answer

（1）根据题意可求得a2，a3和a4，把2m+1代入题设递推式，利用诱导公式整理求得a2m+1=2a2m，同理求得a2m=a2m-1+1，进而整理求得a2m+1+2=2（a2m-1+2）
（2）根据（1）可判断出数列a2m-1+2是公比为2的等差数列，进而求得其通项公式，求得a2m-1，则a2m可得，进而分n为奇数和偶数求得其通项公式，代入bn中利用不等式的传递性整理，最后利用等比数列的求和公式证明原式．
【解析】
（1）a2=（1+0）a1+1=2，a3=（1+1）a2+0=4，a4=（1+0）a3+1=5，
证明：a2m+1==2a2m，
a2m=a2m-1+1，则a2m+1=2a2m-1+2，
∴a2m+1+2=2（a2m-1+2）
证明：（2）由（1）可得：，数列a2m-1+2是公比为2的等差数列，
a2m-1+2=（a1+2）2m-1得：a2m-1=-2+3•2m-1（m∈N*），
，
所以：
而当n≥2时，-1+3•2n-2≥2，故
则，
从而
=