Question

已知函数．
（1）求它的定义域、值域；
（2）判断它的奇偶性；
（3）判断它的周期性；
（4）写出函数的单调递增区间．

Answer

（1）利用真数大于0，解不等式，可求函数f（x）的定义域；确定真数的范围，可求函数f（x）的值域；
（2）因为函数f（x）的定义域关于原点不对称，故此函数为非奇非偶函数；
（3）利用周期函数的定义，可求函数的周期；
（4）根据复合函数的单调性，故求函数t=sin2x的单调递减区间，结合原函数的定义域，可得函数的递增区间．
【解析】
（1）由，∴sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，解得
故函数f（x）的定义域为…（3分）
因，故
故函数f（x）的值域为[1，+∞）．…（5分）
（2）因为函数f（x）的定义域为，关于原点不对称，故此函数为非奇非偶函数．…（7分）
（3）因为，所以此函数的周期为T=π．…（10分）
（4）根据复合函数的单调性，故求函数t=sin2x的单调递减区间．
又考虑到原函数的定义域，故，
即为
故函数的递增区间为（），k∈Z．…（14分）