由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,由函数f(x)的奇偶性得到函数g(x)的奇偶性,由f(-4)=0得g(4)=0、还有g(-4)=0,再通过奇偶性进行转化,利用单调性求出不等式得解集.
【解析】
设g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)<0,
∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴g(x)=xf(x)是R上的奇函数,
∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
∵f(-4)=0,
∴f(4)=0;
即g(4)=0,g(-4)=0
∴xf(x)>0化为g(x)>0,
设x>0,故不等式为g(x)>g(4),即0<x<4
设x<0,故不等式为g(x)>g(-4),即x<-4
故所求的解集为(-∞,-4)∪(0,4)
故选D.