Question

已知椭圆过点，且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率，故椭圆方程为，又点在椭圆上，由此能导出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m2＜4k2+3．又，知MN中点P的坐标为，由此能求出k的范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴∴a=2c∴b2=a2-c2=3c2
∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c2=1
∴椭圆的方程为…（4分）
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由
消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0…（6分）
∵直线y=kx+m与椭圆有 两个交点△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3…（8分）
又∴MN中点P的坐标为…（9分）
设MN的垂直平分线l'方程：
∵p在l'上∴即4k2+8km+3=0
∴…（11分）
将上式代入得
∴
即或，∴k的取值范围为