Question

数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）利用an=2an-1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27，代入可求；（Ⅱ）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，从而有2bn=bn-1+bn+1，．故可求；（Ⅲ）先求出数列的通项，再求和．
【解析】
（Ⅰ）由a3=27，27=2a2+23+1----------（1分）∴a2=9----------（2分）
∴9=2a1+22+1∴a1=2------------（3分）
（Ⅱ）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．
则2bn=bn-1+bn+1------------（4分）∴
∴4an=4an-1+an+1+t------------（5分）∴∴t=1------------（6分）
存在t=1，使得数列{bn}为等差数列．------------（7分）
（Ⅲ）由（1）、（2）知：------------（8分）
又{bn}为等差数列.∴------------（9分）
∴Sn=3×2-1+5×21-1+7×22-1+…+（2n+1）×2n-1-1=3+5×2+7×22+…+（2n+1）×2n-1-n
∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）×2n-2n∴-Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n-1-（2n+1）×2n+n----------（11分）=
=（1-2n）×2n+n-1Sn=（2n-1）×2n-n+1------------（13分）