Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）的单调性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer

①在f（）=f（x1）-f（x2）中令x1=x2，即可求得f（1）；
②定义法：设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（），由x＞1时f（x）＜0可判断f（）的符号，从而可比较f（x1）与f（x2）的大小，根据单调性定义即可作出判断；
③由f（3）=-1及f（）=f（9）-f（3），可求得f（9）=-2，从而f（|x|）＜-2可化为f（|x|）＜f（9），根据单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，解出即可；
解 ①由f（）=f（x1）-f（x2），令x1=x2，则f（1）=0；
②设x1＞x2＞0，则f（x1）-f（x2）=f（），
因为＞1，所以f（）＜0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
③因为f（3）=-1，又f（）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，
所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），
又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．