Question

已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′，F₂′，求以F₁′，F₂′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程．

Answer

（Ⅰ）根据双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为．由题意，列出关于a，b的方程，解得a=2，b=1．从而写出双曲线的方程即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，-），F2（0，）．根据点F1，F2关于直线y=x的对称点分别为F1′（-，0），F2′（，0），设椭圆方程为（m＞n＞0）．由椭圆定义，得出m，n的值，从而写出椭圆的方程即可．
【解析】
（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为．
由题意，得解得a=2，b=1．
所求双曲线的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，-），F2（0，）．
点F1，F2关于直线y=x的对称点分别为F1′（-，0），F2′（，0），又P（0，2），设椭圆方程为（m＞n＞0）．
由椭圆定义，得2m=6，∴m=3
因为m2-n2=5，所以n2=4．
所以椭圆的方程为．