Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（）＞2．

Answer

（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，即可求出f（1）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），设x1＜x2，，由已知得出f（x2）-f（x1）=f（），且能得出f（）＞0，确定出f（x1）＜f（x2）后即可判断出函数f（x）在R上单调性．
 （3）由（2），不等式化为f（x（x-8））＞f（9），即，利用解不等式的方法得出x的取值范围．
【解析】
（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（2）函数在（0，+∞）上是单调增函数．
任取x1，x2∈（0，+∞），设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（），因为0＜x1＜x2，所以＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x2）-f（x1）=f（）＞0，即f（x2）＞f（x1）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）若f（3）=1，则2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（）＞2可以化为f（x（x-8））＞f（9），即，解得x＞9．即不等式的解集为（9，+∞）．