(I)以点B为坐标原点,分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz,设AB=2,欲证PA⊥B1C,只需它们对应的坐标,计算它们的数量积,使数量积为零即可;
(II)先求出平面B1C的一个法向量,先求直线PA与法向量的夹角的余弦值然后得到直线与平面所成角的正弦值,可求出k的值,最后求出平面BPC的一个法向量,根据两法向量的夹角的余弦值求出二面角A-PC-B的余弦值.
【解析】
以点B为坐标原点,分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
(I)设AB=2,则AB=BC=PA=2
根据题意得:
所以.
∵,∴PA⊥B1C.
(II)设AB=2,则,
根据题意:A(2,0,0),C(0,2,0),
又因为,
所以,
∴,
∴,
∵AB⊥平面B1C,
所以由题意得,
即,即,
∵k>0,解得k=.
即时,直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为.(8分)
∵B1P⊥面APC,∴平面APC的法向量.
设平面BPC的一个法向量为,
∵
由,得,
∴
所以此时二面角A-PC-B的余弦值是.(12分)