Question

已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N﹡．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）令c_n=，T_n是数列{c_n}的前n项和，证明T_n＜1．

Answer

（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明是一个非零的常数即可；
（2）根据（1）中证明的结论，求出数列{an}的通项公式，从而求得数列{cn}的通项公式，再求出其前n项和．
（Ⅰ）证明：由题意得an+1+1=2an+2=2（an+1），
又a1+1=2≠0．
所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）【解析】
由（1）知an=2n-1，
故，∴
=．
故Tn＜1．