Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（I）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）若x∈[0，2]时，函数g（x）=f（x）+f'（x）在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer

（I）求出f'（x）=3ax2-6x，根据题意可得f'（1）=3a-6=0，可以得出a=2；
（II）先得出g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0），所以g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6是一个二次函数，讨论此函数的根的判别式和零点的分布，可以得出最大值只能为g（0）或g（2），再根据已知条件得g（0）≥g（2），可解出a的取值范围．
【解析】
（I）∵f（x）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f'（1）=3a-6=0，
∴a=2．
（II）g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0）
g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，△=36（a-1）2+72a=36（a2+1），
∴f'（x）=0有两个实根，设这两个实根为x1，x2，
则，
设x1＜0＜x2，当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值，
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x2≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）的最大值为g（0），
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2），
即，∴