Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

Answer

（1）欲证B1C∥平面A1BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B1C与平面A1BD内一直线平行，连接AB1与A1B相交于M，根据中位线可知B1C∥MD，又B1C不属于平面A1BD，满足定理所需条件；
（2）当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，欲证平面A1BD⊥平面BDE，根据中位线定理可知DE∥AC1，而AC1平面A1BD，则DE⊥平面A1BD，又DE⊂平面BDE，满足定理所需条件．
证明：：（1）连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B
的中点，连接MD，又D为AC的中点，
∴B1C∥MD，又B1C不属于平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．
（2）当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，
∵D、E分别为AC、C1C的中点，
∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD，
∴DE⊥平面A1BD，又DE⊂平面BDE，
∴平面A1BD⊥平面BDE．