Question

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2．
（1）求a_n的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2，知an=2n．
（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由此能求出b5+b100的值．
（3）因为，故，所以．故对一切n∈N*都成立，由此能求出使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a取值范围．
【解析】
（1）∵对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2，
∴a2=2a1=4，a3=2+4=6，a4=2+6=8，…，an=2n；（4分）
（2）因为an=2n（n∈N*），
所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；
（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；
（42），．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，
故b100是第25组中第4个括号内各数之和．（6分）
由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、
所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．（8分）
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，（6分）
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010．（10分）
（3）因为，故，
所以．
故对一切n∈N*都成立，
就是
对一切n∈N*都成立．（12分）
设，
则只需即可．
由于=，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是．（14分）
令，即，
解得，或，（15分）
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，
a的取值范围是．（16分）