Question

已知P是抛物线y²=2x上的点，点M（m，0），试求点P与点M的距离的最小值（其中m∈R）．

Answer

先设P点坐标为（x，y），利用两点间的距离公式求出点P与点M的距离的表达式；再结合二次函数在固定区间上的最值求法即可求出点P与点M的距离的最小值．
【解析】
设P点坐标为（x，y），
则
=
=
令t=x2+（2-2m）x+m2（x≥0）则其对称轴为x=m-1
（1）当m-1＜0即m＜1时
t=x2+（2-2m）x+m2在x≥0时为增函数，
所以
（2）当m-1≥0即m≥1时，
t=x2+（2-2m）x+m2（x≥0）在（0，m-1）上递减，在（m-1，+∞）上递增，
所以：
综上所述，当m＜1，点P与点M的距离的最小值为m；
          当m≥1，点P与点M的距离的最小值为．