Question

已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x；若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₀₉=（ ）
A．2009
B．-2009
C．
D．

Answer

由f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），推出f（x）是周期为4的周期函数，由an=f（n）得，a2010=f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=f（-1），于是即可求出a2009的值．
【解析】
∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）=f （4-x），又f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（-x）=f（4-x），
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是周期等于4的周期函数，
∵an=f （n），当-2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴a2009=f （2009）=f （4×502+1）=f （1）=f（-1）=2-1=，
故选C．