Question

如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a≤0}
B．{0，2}
C．{a|a≥0}
D．{a|a≥0或a=-2}

Answer

由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程 有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．
【解析】
由函数解析式可得：x≠0，
如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax3-3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解 满足要求；
②当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（  ，+∞）上单调递增，在（0， ）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=2a时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；
③当a＜0时，同理f（x）在（-∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（  ，0）上单调递增
f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意
综上：a≤0或a=2．
故答案为：{a|a≤0或a=2}