Question

已知椭圆的右准线是x=1，倾斜角为交椭圆于A、B两点，AB的中点为
（I）求椭圆的方程；
（II）若P、Q是椭圆上满足，若直线OP、OQ的斜率分别为k_OP，k_OQ，求证：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer

（I）由于直线AB的倾斜角为且过点，可得直线的方程为．代入椭圆方程，整理得，由AB的中点为可得a2=2b2．结合可求a，b，c，进而可求椭圆方程
（II）设P（x3，y3），Q（x4，y4）都在椭圆2x2+4y2=1上，由=，代入可求
【解析】
（I）由于直线AB的倾斜角为且过点，
所以直线的方程为．
代入椭圆方程，整理得，，
即a2=2b2．
又，联立a2=b2+c2，
求得．
所以椭圆方程为2x2+4y2=1．…（6分）
（II）设P（x3，y3），Q（x4，y4）都在椭圆2x2+4y2=1上，
由==．…（12分）