Question

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通项公式a_n；
（3）求证：

Answer

（1）根据an+1=bn+n，bn+1=an+（-1）n，可知a3=a1+1，a5=a3+3求得答案．
（2）分别看数列项数为奇数和偶数时，利用叠加法求得通项公式an；
（3）分别看n为奇数和偶数时，把（2）中求得的通项公式代入中，利用裂项法证明原式．
【解析】
（1）b2=a1-1=0，∴a3=b2+2=2，a5=a3+3=5；
（2）由题意，a3=a1+1，a5=a3+3，，a2n-1=a2n-3+（2n-3），
∴；
同理，a2n=n2+n，∴；
（3）当n≥3时，，
而，∴