Question

（1）设{a_n}是集合{2^s+2^t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5     6
9     10    12
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…
①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
②求a₁₀₀
（2）设{b_n}是集合{2^r+2^s+2^t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b_k=1160，求k．

Answer

（1）①用（t，s）表示2t+2s，先利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从0增加到对应的行数，而纵坐标为行数，就可求出第四行、第五行各数；
②解法一：因为100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a100位于第14行第8列，即可求出a100．
解法二：直接把设a100=2s+2t，再利用条件确定对应的正整数s，t即可．
（2）利用上面的结论可以快速找到{bn}的规律，再结合组合数对其求解即可．
（1）【解析】
用（t，s）表示2t+2s，下表的规律为
3（0，1）
5（0，2） 6（1，2）
9（0，3） 10（1，3） 12（2，3）
①第四行17（0，4） 18（1，4） 20（2，4） 24（3，4）
第五行33（0，5） 34（1，5） 36（2，5） 40（3，5） 48（4，5）
②解法一：因为100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a100=（8，14）=28+214=16640
解法二：设a100=2s+2t，只须确定正整数s，t．
数列{an}中小于2t的项构成的子集为{2t+2s|0≤s＜t＜t}，
其元素个数为，依题意．
满足等式的最大整数t为14，所以取t=14．
因为100-C142=s+1，由此解得s=8，
∴a100=214+28=16640．
（2）【解析】
bk=1160=210+27+23，
令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2r+2s+2t|0≤r＜s＜t}）
因M={c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210+27}∪{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}．
现在求M的元素个数：{c∈B|c＜210}={2r&+2s+2t|0≤r＜s＜t＜10}，
其元素个数为C103：{c∈B|210＜c＜210+27}={210&+2s+2r|0≤r＜s＜7}．
某元素个数为C72：{c∈B|210+27＜c＜210+27+23}={210+27+2r|0≤r＜3}
某元素个数为C107：k=C103+C72+C32+1=145．
另法：规定2r+2t+2s=（r，t，s），bk=1160=210+27+23=（3，7，10）
则b1=2+21+22=（0，1，2）C22
依次为（0，1，3） （0，2，3） （1，2，3） C32
（0，1，4） （0，2，4） （1，2，4） （0，3，4） （1，3，4） （2，3，4） C42
（0，1，9） （0，2，9）（6，8，9） （7，8，9）C92
（0，1，10） （0，2，10）（0，7，10） （1，7，10） （2，7，10） （3，7，10） C72+4
k=（C22+C32++C92）+C72+4=145．