Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=，记b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求S_2n+1．

Answer

（1）直接把n=2，3代入数列递推公式即可求出a2，a3；
（2）先把bn=a2n，转化为bn=a2n=a（2n-1）+1=a2n-1+（2n-1）=[a2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=a2（n-1）+1=bn-1+1，即求出数列{bn}的递推关系式，再构造新的等比数列来求数列{bn}的通项公式；
（3）把数列{an}中的所有项都用数列{bn}的通项表示出来，再采用分组求和法求其前2n+1项的和即可．
【解析】
（1）当n=2时，a2=+1=+1=；
当n=3时，a3=a2-2×2=-4=-．
（2）当n≥2时，bn=a2n=a（2n-1）+1=a2n-1+（2n-1）
=[a2n-2-2（2n-2）]+（2n-1）=a2（n-1）+1=bn-1+1
∴bn-2=（bn-1-2），又b1-2=a2-2=-，
∴bn-2=-•（）n-1=-（）n，即bn=2-（）n．
（3）∵a2n+1=a2n-4n=bn-4n
∴S2n+1=a1+a2+…+a2n+a2n+1
=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+a5+…+a2n+1）
=（b1+b2+…+bn）+[a1+（b1-4×1）+（b2-4×2）+…+（bn-4×n）]
=a1+2（b1+b2+…+bn）-4×（1+2+…+n）
=1+2（2n-）-4×
=（）n-1-2n2+2n-1．