Question

设数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄并由此猜测a_n的一个通项公式；
（2）当a₁≥3时，证明对所的n≥1，有
①a_n≥n+2
②

Answer

本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法．
（1）由列{an}满足：an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…及a1=2，我们易得到a2，a3，a4的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出an的一个通项公式．
（2）①an≥n+2的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式an≥n+2恒成立．②的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明．
解（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1（n≥1）
（2）（i）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5≥k+3．
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+2
据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2．
（ii）由an+1=an（an-n）+1及（i），对k≥2，有ak=ak-1（ak-1-k+1）+1≥ak-1（k-1+2-k+1）+1=2ak-1+1
ak≥2k-1a1+2k-2++2+1=2k-1（a1+1）-1
于是，k≥2