Question

在平面直角坐标系内有两个定点F₁，F₂和动点P，F₁，F₂坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），动点P满足，动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C″，直线y=x+m-3与曲线C″交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为，
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的值．

Answer

（1）设出P的坐标，利用两点间的距离公式得到曲线C的方程；
（2）根据关于y=x对称点的特点，把圆心（-3，0）关于y=x的对称点找到，半径不变，即可得到曲线C″的方程，利用两点间的距离公式求出圆心到直线的距离即为三角形的高，根据勾股定理求出直线与圆相交所截取的弦长为三角形的底，根据三角形的面积公式列出方程求出m即可．
【解析】
（1）设P点坐标为（x，y），则=，化简得（x+3）2+y2=8，
所以曲线C的方程为（x+3）2+y2=8；
（2）曲线C是以（-3，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C″也应该是一个半径为2的圆，点（-3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，-3），所以曲线C″的方程为x2+（y+3）2=8，
原点（0，0）到直线y=x+m-3的距离d=，
S△ABO=×d×|AB|=×d×2==，
∴=1或7，所以m=3±或m=3±．