Question

若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，则称f（x）为优美函数．在下列四个函数中，优美函数是（ ）
A．f（x）=|x|
B．
C．f（x）=2
D．f（x）=x²

Answer

首先分析题目的新定义满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”，则称f（x）为优美函数，要求选择优美曲线．故需要对4个选项代入不等式|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|分别验证是否成立即可得到答案．
【解析】
在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于A：f（x）=|x|，|f（x2）-f（x1）|=||x2|-|x1||=|x2-x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于B：，|f（x2）-f（x1）|==＜|x2-x1|（因为x1，x2在区间（1，2）上，故x1x2大于1）故成立．
对于C：f（x）=2x，|f（x2）-f（x1）|=2|x2-x1|＜|x2-x1|．不成立．
对于D：f（x）=x2，|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|=（x2+x1）|x2-x1|＞|x2-x1|不成立．
故选B．