Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，6]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据对数函数的真数一定要大于0可求其定义域，将-x代入函数f（x）可知f（-x）=-f（x），故为奇函数．
（2）f（x）是以e＞1为底数的对数函数，根据单调性可得，即0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立，进而可求m的范围．
【解析】
（Ⅰ）由，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，

∴在定义域上是奇函数．
（Ⅱ）由x∈[2，6]时，恒成立，
∴
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）2+16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
x∈[2，6]时，g（x）min=g（6）=7．．
∴0＜m＜7．