Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=（1-a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并比较s_n与的大小；
（Ⅱ）设函数，令b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求数列的前n项和T_n．

Answer

（1）根据an=Sn-Sn-1，代入题设，整理得=进而可知数列{an}为等比数列，公比是，再根据S1=a1求得a1，进而根据等比数列的通项公式求得an，把an代入Sn=（1-an）中得（1-（）n），根据1-（）n＜1，答案可得．
（2）把an代入bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），化简整理求得bn，进而可得，最后用裂项法求得Tn．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，an=（1-an）-（1-an-1）=-an+an-1，
2an=-an+an-1，．∴=，由S1=a1=（1-a1）得a1=
∴数列{an}是首项a1=公比为的等比数列
an=×（）n-1=（）n．
由Sn=（1-an）=（1-（）n）
∵1-（）n＜1
∴（1-（）n）＜
∴sn＜
（Ⅱ），
∴bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an）=（a1a2…an）
=（）1+2+…n=．
∴==2（-）
∴Tn=2[（1-）+（-）+…+（-）]=．