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高中数学试题
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已知函数f(x)=2ax3-3ax2+1,.(a∈R) (I)当a=1时,求函数...
已知函数f(x)=2ax
3
-3ax
2
+1,
.(a∈R)
(I)当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(II)若任意给定的x
∈[0,2],在[0,2]上总存在两个不同的x
i
(i=1,2),使得f(x
i
)=g(x
)成立,求a的取值范围.
(I)由题意先把a代入使得函数f(x)具体,再利用导函数求其单调区间; (II)由题意可以把问题转化为求函数f(x)和函数g(x)的值域,并有题意转化为两个函数的值域的关系问题. 【解析】 (I)f'(x)=6x2-6x=6x(x-1). 由f'(x)>0,得x>1或x<0; 由f'(x)<0,得0<x<1; 故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0],[1,+∞); 单调递减区间是[0,1]. (II)f′(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1). ①当a=0时,显然不可能; ②当a>0时,函数f(x)的变化情况如下表所示 又因为当上是减函数, 对任意,不合题意; ③当a<0时,函数f(x)的变化情况如下表所示 又因为当在[0,2]上是增函数, 对任意, 由题意可得,<1-a ∴a<-1 综上,a的取值范围为(-∞,-1).
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考点分析:
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