Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）使得f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，则称
g（x）为函数f（x）的一个承托函数．以下说法
（1）函数f（x）=x²-2x不存在承托函数；
（2）函数f（x）=x³-3x不存在承托函数；
（3）函数不存在承托函数；
（4）g（x）=1为函数f（x）=x⁴-2x³+x²+1的一个承托函数；
（5）g（x）=x为函数f（x）=e^x-1的一个承托函数．
中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据承托函数的定义知：只要函数f（x）有最小值，就一定有承托函数g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可
（1）因为函数f（x）=x2-2x为二次函数可用配方法求最小值，就可判断有无承托函数；
（2）因为函数f（x）=x3-3x为三次函数可用导数判断单调性，从而可知函数有无最小值，就可判断有无承托函数；
（3）根据函数的特点可采用判别式求值域，从而可知函数有无最小值，就可判断有无承托函数；
（4）因为函数f（x）=x4-2x3+x2+1为四次函数可用导数判断单调性，从而可知函数最小值，就可判断g（x）=1是不是它的承托函数；
（5）因为ex＞0，所以函数f（x）=ex-1＞-1，而g（x）=x≤-1不能恒成立，就可判断g（x）=x不是它的承托函数．
【解析】
根据承托函数的定义知：只要函数f（x）有最小值，就一定有承托函数g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可．
（1）错，因为f（x）=x2-2x=（x-1）2-1，当x=1时，f（x）有最小值-1
所以存在承托函数，例如：g（x）=-1就是其中一个；
（2）对，因为f（x）=x3-3x的导数f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得：x=±1
所以，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增．
由此可知：函数无最小值，不存在承托函数；
（3）错，因为定义域为R，用判别式法求值域如下：
把变形得：yx2-（y+2）x+y=0
当y=0时，x=0
当y≠0时，由△=（y+2）2-4y2≥0得：
综上可知：，故y有最小值
所以，存在承托函数，例如：g（x）=
（4）对，因为函数f（x）=x4-2x3+x2+1的导数 f′（x）=4x3-6x2+2x=2x（2x-1）（x-1）
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增
又∵f（0）=1，f（1）=1，∴f（x）的最小值为1，所以g（x）=1是它的承托函数
（5）错，因为ex＞0，所以函数f（x）=ex-1＞-1
因为对于x∈R，g（x）=x≤-1显然不能恒成立，所以，g（x）=x不是函数f（x）=ex-1的一个承托函数