Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x-1．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer

（I）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可；
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a的取值进行分类讨论．
【解析】
（I）当a=-2时，f（x）=x3-2x2+x-1，f′（x）=3x2-4x+1，令f′（x）=0，解得x1=-3，x2=1，
当f′（x）＞0时，或x＞1；当f′（x）＜0时，
当x变化时，x与f′（x）、f（x）的变化情况如下：

x 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ -1 ↗

所以当时，f（x）有极大值；当x=1时，f（x）有极小值-1．
（II）f′（x）=3x2+2ax+1
当时，函数f（x）=x3+ax2+x-1的单调递增区间为R；
当时，函数f（x）=x3+ax2+x-1的单调递增区间为，单调递减区间为