Question

已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求f（x）的值域；
（4）解不等式．

Answer

（1）用定义判断函数的奇偶性．其步骤为先判断定义域的对称性，再判断f（x）与f（-x）的关系，另外注意本题书写的格式---先判断后证明．
（2）用定义判断函数的单调性，其步骤是任取两个自变量，对其函数值作差，判断其符号，得出单调性结论，注意本题书写的格式---先判断后证明．
（3）由（2）的结论求值域，求此类函数的值域时，注意到分子与分母是齐次式，故一般采取先分离常数，求值域．
（4）利用单调性解不等式，本题为增函数，故找出函数值为的自变量，即可求出其解集．此为解不等式的一类常用方法．
【解析】
（1）f（x）为奇函数．
因为f（x）的定义域为R，对∀x∈R
∵，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
∵对-∞＜x1＜x2＜+∞，，

又=；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（3）∵，
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（x）∈（-1，1）．
（4）∵；
又∵即为f（x）＞f（3）；
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
∴不等式的解集为{x|x＞3}