Question

若在区间[-1，1]上，函数f（x）=x³-ax+1≥0恒成立，则a的取值范围是    ．

Answer

由x3-ax+1≥0恒成立，得ax≤x3+1，再对x的取值进行分类讨论，转化为函数F（x）=的最值问题，注意导数工具的运用，列出关于字母a的不等式达到求解本题的目的．
【解析】
由x3-ax+1≥0恒成立，得ax≤x3+1，
①当x∈（0，1]时，
即a≤，x∈（0，1]恒成立，
设F（x）=，F′（x）=2x-，令F′（x）=0得x=，
当x∈（0，]时F′（x）＜0，当x∈（，1]时F′（x）＞0，
故f（x）在（0，]单调减，f（x）在（，1]单调增，
∴当x=时，函数f（x） 取得最小值，最小值为；
∴a≤
②当x∈[-1，0）时，
即a≥，x∈[-1，0）恒成立，
设F（x）=，F′（x）=2x-，
当x∈[-1，0）时F′（x）＜0，
故f（x）在[-1，0）单调减，
∴当x=-1时，函数f（x） 取得最大值，最大值为0；
∴a≥0；
③当x=0时，函数f（x）=x3-ax+1≥0恒成立
综上所述，a的取值范围是[0，]．
故答案为：[0，]．