Question

已知α，β≠+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：=．

Answer

所证明的式子中不含角θ，因此先由已知，考虑将θ作为桥梁，沟通α，β，得出4sin2α-2sin2β=1．再将所证明的式子切函数化成弦函数，等价变形，与上式一致即可．．
证明：由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ•cosθ=sin2β ②，…（2分）
①2-2×②消去θ得4sin2α-2sin2β=1③．…（5分）
另一方面，要证=，即证= …（7分）
即证cos2α-sin2α=（cos2β-sin2β）           …（9分）
即证1-2sin2α=（1-2sin2β）           …（11分）
亦即证4sin2α-2sin2β=1，而此式在③已证，故原等式成立．…（13分）