Question

已知定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．若f（3^x）+f（9^x-2）＞0，则实数x的取值范围为（ ）
A．
B．（0，+∞）
C．（-∞，1）
D．（1，+∞）

Answer

本题考查的抽象函数的应用，由于f（x+y）=f（x）+f（y），我们不难计算出f（0）=0，并由此进而给出函数f（x）为奇函数，且在R上递增，则f（3x）+f（9x-2）＞0可以转化为一个指数不等式，解不等式即可求出满足条件的实数x的取值范围．
【解析】
由函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）
f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
∴f（x-x）=f（0）=0=f（x）+f（-x）．
即f（x）为奇函数，则f（x）在R单调递增．
∴f（3x）+f（9x-2）＞0
可转化为f（3x+9x-2）=f[（3x）2+3x-2]＞0=f（0）
即（3x）2+3x-2＞0
解得3x＜-2，或3x＞1
结合指数函数性质，解得x＞0
故选B