Question

设x＞1，y＞1且（x-1）（y-1）=2，若x+y≥k恒成立，则实数k的取值范围是    ．

Answer

根据题意，x+y≥k可变形为（x-1）+（y-1）+2≥k，只需k小于等于（x-1）+（y-1）+2的最小值即可，令t=（x-1）+（y-1）+2，且（x-1）（y-1）=2，则t=（x-1）++2，由基本不等式的性质，计算可得答案．
【解析】
根据题意，x+y≥k可变形为（x-1）+（y-1）+2≥k，
只需k小于等于（x-1）+（y-1）+2的最小值即可，
设x＞1，y＞1，则（x-1）＞0，（y-1）＞0，
令t=（x-1）+（y-1）+2，且（x-1）（y-1）=2，
则t=（x-1）++2≥3+2，
则k≤2+2，
故答案为（-∞，2+2]．