Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值；
（3）求二面角B-AC₁-C的正切值．

Answer

（1）连接C1B交CB1于O点，要证AC1∥平面CDB1，只需证明AC1平行平面CDB1内的直线DO即可．
（2）由（1）知DO∥AC1，∠COD就是异面直线AC1与B1C所成的角．利用余弦定理求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；
（3）在侧面ACC1A1内过C作CE⊥AC1于E，连接BE，说明∠BEC就是二面角B-AC1-C的平面角，然后求二面角B-AC1-C的正切值．
【解析】
（1）证明：连接C1B交CB1于O点，
由已知四边形BCC1B1为矩形，
∴O为C1B的中点，又D为AB的中点，
连接DO，则DO∥AC1，
而AC1⊄面B1CD，DO⊂面B1CD，
∴AC1∥面CDB1．（5分）
（2）【解析】
由（1）知DO∥AC1，
∴∠COD就是异面直线AC1与B1C所成的角．
依题设知：，
∴
即异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．（9分）
（3）【解析】
依题设BC⊥侧面ACC1A1，则在侧面ACC1A1内过C作CE⊥AC1于E，连接BE，由AC1⊥面BCE知AC1⊥BE，∴∠BEC就是二面角B-AC1-C的平面角．在Rt△BCE中，，∴，即二面角B-AC1-C的正切值为．