Question

如图，已知圆C₁的方程为，椭圆C₂的方程为（a＞b＞0），C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

Answer

由得，b2=c2，设椭圆方程为：，令A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得圆心C1（2，1）为AB中点，A，B均在椭圆C2上，，两式相减得：，，再由根的判别式结合题设条件可求出直线AB的方程和椭圆C2的方程．
由得，
∴a2=2c2，b2=c2，
设椭圆方程为：（2分）
令A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得圆心C1（2，1）为AB中点，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
又A，B均在椭圆C2上，
∴，
两式相减得：
即
∴，
即直线AB的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
将y=-x+3代入得3x2-12x+18-2b2=0（9分）
∴由直线AB与椭圆C2相交，
∴△=122-12（18-2b2）=24b2-72＞0即b2＞3，
又（11分）
即解得b2=8，故所求的椭圆方程为（13分）