Question

已知函数f（x）=x-sinx（x≥0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若函数在（0，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；
（3）若对一切n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer

（1）先求导函数，研究函数的单调性，从而求出最小值；（2）先证明函数g（x）在（0，+∞）上单调性，再求正实数a的取值范围，注意分类讨论；（3）借助函数的性质来研究其单调性，得到参数的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=1-cosx=0得x=0，且函数在[0，∞）上为增函数，故f（x）的最小值为0  
 （2），g′（x）=x-asinx又a为正实数
当0＜a≤1时，若x∈（0，1），由（1）可知x≥sinx，所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
若x∈（1，+∞），asinx≤a≤1＜x，
所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
综上，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，令h（x）=x-asinx，（x≥0）则h′（x）=1-acosx
当时，h′（x）＜0，h（x）单减，所以h（x）＜h（0）=0
即g′（x）＜0，所以g（x）在上单调递减，与已知矛盾．
综上，正实数a的取值范围为：正实数a的取值范围（0，1]
（3）首先其次，由（2）知：当a=1时，在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）=0，从而，
所以：
=＞n-1
若λ≥1，则
若λ＜1，则，
即λn＞n-1，对一切n∈N*恒成立，但当时，λn＜n-1，矛盾．
综上：λ≥1，其最小值为1．