Question

如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角α．
（1）当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；
（2）当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值．

Answer

（1）根据题意可分别表示出梯形的高和上底长，进而可求得横截面的面积的表达式，把代入S的解析式，利用二次函数的性质判断其单调性，进而推断x=2和x=3时S的值，求得x的最小正整数值．
（2）把x代入S的解析式中通过对S的函数进行求导，判断S的单调性进而推断出S的最大值．
【解析】
由已知得等腰梯形的高为xsinα，上底长为2+2xcosα，
从而横截面面积S=（2+2+2xcosα）•xsinα=x2sinαcosα+2xsinα．
（1）当时，面积是（0，+∞）上的增函数，
当x=2时，S=3＜8；当x=3时，S=．
所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3．
（2）当x=2时，S=4sinαcosα+4sinα，S'=4cos2α-4sin2α+4cosα
=4（2cos2α+cosα-1）=4（2cosα-1）•（cosα+1），
由S′=0及α是锐角，
得．当0＜α＜时，S′＞0，S是增函数；
当＜α＜时，S′＜0，S是减函数．所以，当α=时，S有最大值．
综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是．