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已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0...

已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0的解集为( )
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A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)
根据题意结合图象求出f′(x)>0的解集与f′(x)<0的解集,因此对原不等式进行化简与转化,进而得到原不等式的答案. 【解析】 由图象可得:当f′(x)>0时,函数f(x)是增函数,所以f′(x)>0的解集为(-∞,-1),(1,+∞), 当f′(x)<0时,函数f(x)是减函数,所以f′(x)<0的解集为(-1,1). 所以不等式f′(x)<0即与不等式(x-1)(x+1)<0的解集相等. 由题意可得:不等式(x2-2x-3)f′(x)>0等价于不等式(x-3)(x+1)(x+1)(x-1)>0, 所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞), 故选D.
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考点分析:
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