Question

已知函数f（x）满足，其中a＞0且a≠1．
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）由已知中函数f（x）满足，我们可以利用换元法求出函数的解析式，进而判断出函数的奇偶性，和单调性，根据函数的性质我们可以将不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0化成一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
（2）若当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，故我们可将f（x）+3＞0恒成立，转化为一个关于a的不等式恒成立问题，解答后，即可求出a的取值范围．
【解析】
（1）令logax=t，则x=at，
∴…（2分）
∴∴
即y=f（x）为奇函数------…（2分）
∵a＞1时  
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数0＜a＜1时∴
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数
综上f（x）为定义域上减函数…（2分）
∵f（1-m）+f（1-m2）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m2）∴奇函数∴f（1-m）＜f（m2-1）
∵减函数∴…（2分）
（2）∵y=f（x）为减函数∴…（2分）
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0…（1分）
∴…（1分）