Question

已知函数
（1）若x₁=-2和x₂=4为函数f（x）的两个极值点，求函数f（x）的表达式
（2）若f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

Answer

（1）由x1=-2和x2=4为函数f（x）的两个极值点，根据极值点处的导数为零，建立方程组，求解即可．
（2）根据f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数转化成f'（x）=x2+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．再利用线性规划的方法求出a2+b2的最小值．
【解析】
（1）∵∴f'（x）=x2+ax-b（2分）
又x1=-2和x2=4为函数f（x）的两个极值点
∴-2，4是方程x2+ax-b=0的两个根

∴（4分）
（2）∵f（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数∴f'（x）=x2+ax-b≤0在区间[-1，3]上恒成立．
∴

∴a2+b2的最小值为A到原点O的距离的平方，即（-2）2+32=13
∴a2+b2的最小值为13（12分）