Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞0），
∴，
当a≤0时，f′（x）＞0（2分），

当x变化时，f'（x），f（x）随x变化情况如下表：
综上可知：当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的增区间为，减区间为，
（2）若函数f（x）≤1恒成立，只需f（x）max≤1，
当a≤0时，f（x）的值趋向于无穷大，不成立，
当a＞0时，由（1）知，f（x）有唯一的极大值且为最大值，
∴f（）=ln-a=-lna-1≤1，
∴lna≥-2，
∴a≥e-2，
即函数f（x）≤1恒成立时，a的取值范围为[e-2，+∞）．