Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，s_n）（n∈N^*）在函数y=x²的图象上，数列{b_n}满足b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），且b₁=a₁+3
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明列数是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足对任意的成立c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer

（1）本题考查由数列的前n项和求数列的通项，解题时要注意验证当n=1时，是否成立，若成立写成一个表达式，若不成立则要分段写出通项．
（2）构造一个新数列，要求证明数列是一个等比数列，这种问题一般用等比数列的定义，即用后一项比前一项，若得到的结果是一个常数，得到数列是等比数列．
（3）根据上一问得到的结果，写出分式的分母的最简结果，根据数列的定义得到新数列的通项，注意是一个分段形式，用等比数列的前n项和公式得到结果．
【解析】
（1）∵点（n，sn）在函数y=x2的图象上，
∴sn=n2（n∈N*）
当n=1时，a1=s1=12=1
当n≥2时，an=sn-sn-1=n2-（n-1）2=2n-1
a1=1也适合，
∴{an}的通项公式为an=2n-1（n∈N*）
（2）∵bn=6bn-1+2n+1（n≥2）
∴
∵
∴其首项为3，公比为3的等比数列
∴
（3）由（2）得bn+2n=6n
由题意得
∴
∴
∴
∴c1+c2+c3+…+c2010=18+2（62+63+64+…+62010）=6+2（61+62+63+…+62010）
=
=（62011+9）