Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面B₁DE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer

（1）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF，由三角形中位线定理，我们易证明AF∥ED，CF∥B1E．结合面面垂直的判定定理可得平面ACF∥面B1DE，再由面面平行的性质得到AC∥平面B1DE；
（Ⅱ）由（1）的结论，由三棱锥的几何特征，我们可得三棱锥A-BDE的体积，计算出底面面积及棱锥的高，代入体积公式即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE∥B1F，且CE=B1F，（1分）
∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．（2分）
∵E，F是CC1、BB1的中点，∴，（3分）
又，∴．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，（5分）
∵AF∩CF=F，B1E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B1DE．（6分）
又AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．（7分）
（Ⅱ）． （8分）．（12分）