Question

如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交x轴于P点，且椭圆的长半轴长a和短半轴长b是关于x的方程（其中c为半焦距）的两个根．
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）经过F、B、P三点的圆与直线相切，试求椭圆的方程．

Answer

（I）由根与系数的关系得，，故a2+2ab+b2=3c2，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由，令a=2m（m＞0），则有，从而，直线BP的方程为，P点坐标为．再由△FBP是直角三角形，知圆心为，半径为．由此能求出椭圆的方程．
【解析】
（I）依题意，由根与系数的关系得，，∴a2+2ab+b2=3c2，（3分）
又∵b2=a2-c2，（4分）
∴3a2-4c2=0，解得；（6分）
（Ⅱ）由（I）知，令a=2m（m＞0），则有，
从而，（7分）
∴直线BP的方程为，（8分）
P点坐标为．（9分）
∵△FBP是直角三角形，
∴圆心为，半径为，（10分）
圆心到直线的距离为，（11分）
解得m=1，（12分）
故b=1，a=2（13分）
所以椭圆的方程为（14分）