Question

已知函数．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减进行讨论．
（2）由题意可值点AB应是函数f（x）的极值点，再根据线段AB与x轴有公共点可知以，从而得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由题设知．
令．
当（i）a＞0时，
若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，
所以f（x）在区间上是增函数；
若，则f'（x）＜0，
所以f（x）在区间上是减函数；
若，则f'（x）＞0，
所以f（x）在区间上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若，则f'（x）＜0，
所以f（x）在区间上是减函数；
若，则f'（x）＜0，
所以f（x）在区间上是减函数；
若，则f'（x）＞0，
所以f（x）在区间上是增函数；
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，
且函数y=f（x）在处分别是取得极值，．
因为线段AB与x轴有公共点，所以．
即．
所以．
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．