Question

数列{a_n} 中a₁=，前n项和S_n满足S_n+1-S_n=（n∈N^*）．
（ I ） 求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n项和S_n；
（Ⅱ）记  （n∈N^*）求数列{b_n} 的前n项和T_n；
（Ⅲ）试确定T_n与（n∈N^*）的大小并证明．

Answer

（I）由得（n∈N*），由此能求出数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn．
（Ⅱ）由，知，再由错位相减法能求出数列{bn} 的前n项和Tn．
（Ⅲ）由，知确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小，经分类讨论知n=1，2时，n=3时．
【解析】
（I）得（n∈N*）（1分）
又a1=，故（n∈N*）（2分）
从而（4分）
（Ⅱ）由（I），（5分）（6分）
两式相减，得（7分）
==（8分）
所以（9分），
（Ⅲ）
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小（10分）
n=1时2＜2+1，n=2时22＜2×2+1，n=3时23＞2×3+1（11分）
令g（x）=2x-2x-1，g′（x）=2xln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2n≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时n=3时（14分）