Question

给出下列三个命题：
①若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数；
②若函数f（x）=2^x，g（x）=log₂x，则函数y=f（2x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称；
③函数y=ln与y=lntan是同一函数． 其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据奇函数的性质及已知中f（x）=f（2-x）恒成立，可得f（x）=f（x-4），进而由函数周期性的定义，判断出①的真假；由已知条件分别求出函数y=f（2x）与y=g（x）的解析式，再由同底的指数函数和对数互为反函数，判断出②的真假；化简函数y=ln的解析式，后比照两个函数的解析式和定义域，可判断③的真假，进而得到答案．
【解析】
①正确：
∵函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=-f（x-2）=-[-f（x-2-2）=f（x-4），
∴f（x）为以4为周期的周期函数；
②正确：
∵函数f（x）=2x，g（x）=log2x，
∴y=f（2x）=4x，y=g（x）=log4x，
即y=f（2x）与y=g（x）互为反函数，
其图象关于直线y=x对称；
③错误：
y=ln=y=ln|tan|．
故选C